Zeros de funções e o Método da Bissecção

O zero de uma função $f(x)$ é qualquer valor $\xi$ tal que $f(\xi) = 0$. É a raiz da equação. É onde a curva cruza o eixo $x$.

Para polinômios de segundo grau, existe fórmula fechada. Para grau 3 ou 4, existem fórmulas mas são complicadas. Para grau 5 em diante, não existe fórmula geral.

É exatamente nesses casos que o cálculo numérico entra.

Todo método de busca de raízes funciona em duas etapas:

Fase I - Isolamento: encontrar um intervalo $[a, b]$ que com certeza contém uma raiz.

Fase II - Refinamento: a partir desse intervalo, ir melhorando a aproximação até atingir a precisão que você quer.

O isolamento se apoia no Teorema do Valor Intermediário (TVI): se $f$ é contínua em $[a, b]$ e os sinais nos extremos são opostos,

$f(a) \cdot f(b) < 0$

então existe pelo menos um $\xi$ entre $a$ e $b$ onde $f(\xi) = 0$. É intuitivo, se a função começa positiva e termina negativa, ela teve que cruzar o zero em algum ponto.

Método da Bissecção: dividir para conquistar

Você tem um intervalo $[a, b]$ com uma raiz dentro. Calcula o ponto do meio

$x_0 = \frac{a + b}{2}$

e avalia $f(x_0)$.

Aí três coisas podem acontecer:

• $f(x_0) = 0$ -> achou a raiz, acabou
• $f(a) \cdot f(x_0) < 0$ -> a raiz está em $[a, x_0]$, descarta a metade direita
• $f(x_0) \cdot f(b) < 0$ -> a raiz está em $[x_0, b]$, descarta a metade esquerda

Repete até o intervalo ser menor que a precisão $\varepsilon$ que você definiu.

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# Pseudo-código do método da Bissecção
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dado f, a, b, ε:
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  enquanto (b - a) > ε:
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    x = (a + b) / 2
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    se f(a) * f(x) < 0:
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      b = x
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    senão:
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      a = x
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  retorna x

Quantas iterações vai precisar?

Dá para calcular antes de rodar. O intervalo encolhe pela metade a cada iteração, então depois de $k$ passos o tamanho é $\frac{b - a}{2^k}$. Para garantir precisão $\varepsilon$:

Com $[2, 3]$ e $\varepsilon = 10^{-5}$, precisamos de menos de 17 iterações. O método é convergente, vai sempre chegar lá, só não é o mais rápido.

Implementando em Python

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import math
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def f(x):
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    return x * math.log10(x) - 1
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def bisseccao(f, a, b, eps=1e-5):
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    if f(a) * f(b) >= 0:
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        raise ValueError("f(a) e f(b) precisam ter sinais opostos")
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    k = 0
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    while (b - a) > eps:
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        x = (a + b) / 2
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        if f(a) * f(x) < 0:
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            b = x
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        else:
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            a = x
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        k += 1
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        print(f"Iteração {k:2d}: x = {x:.8f}, f(x) = {f(x):.2e}")
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    return (a + b) / 2
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raiz = bisseccao(f, 2, 3)
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print(f"\nRaiz encontrada: {raiz:.6f}")

Rodando para $f(x) = x \cdot \log_{10}(x) - 1$ no intervalo $[2, 3]$:

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Iteração  1: x = 2.50000000, f(x) = -5.15e-03
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Iteração  2: x = 2.75000000, f(x) = 2.08e-01
3
Iteração  3: x = 2.62500000, f(x) = 1.00e-01
4
Iteração  4: x = 2.56250000, f(x) = 4.72e-02
5
Iteração  5: x = 2.53125000, f(x) = 2.09e-02
6
Iteração  6: x = 2.51562500, f(x) = 7.87e-03
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Iteração  7: x = 2.50781250, f(x) = 1.36e-03
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Iteração  8: x = 2.50390625, f(x) = -1.90e-03
9
Iteração  9: x = 2.50585938, f(x) = -2.71e-04
10
Iteração 10: x = 2.50683594, f(x) = 5.43e-04
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Iteração 11: x = 2.50634766, f(x) = 1.36e-04
12
Iteração 12: x = 2.50610352, f(x) = -6.72e-05
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Iteração 13: x = 2.50622559, f(x) = 3.45e-05
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Iteração 14: x = 2.50616455, f(x) = -1.63e-05
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Iteração 15: x = 2.50619507, f(x) = 9.10e-06
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Iteração 16: x = 2.50617981, f(x) = -3.61e-06
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Iteração 17: x = 2.50618744, f(x) = 2.74e-06
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Raiz encontrada: 2.506184

Vantagens e limitações

O método da Bissecção é robusto: desde que $f$ seja contínua e os sinais sejam opostos, ele sempre converge.

A desvantagem é a velocidade, outros métodos como Newton-Raphson têm convergência mais rápida, mas exigem calcular derivadas e podem divergir se o chute inicial for ruim.

Para muitas aplicações práticas, a bissecção já resolve muito bem. É o método que você usa quando quer garantia, não velocidade.