Zeros de funções e o Método da Secante

O Método de Newton tem convergência quadrática, mas exige a derivada $f'(x)$ em todo passo e às vezes calculá-la é difícil. O Método da Secante resolve isso.

A ideia é: em vez de usar a tangente exata em $x_k$ , aproxima-se $f'(x_k)$ pelo quociente de diferenças entre os dois últimos pontos:

f'(x_k) \approx \frac{f(x_k) - f(x_{k-1})}{x_k - x_{k-1}}

Substituindo isso na fórmula de Newton:

x_{k+1} = x_k - \frac{f(x_k)}{\dfrac{f(x_k) - f(x_{k-1})}{x_k - x_{k-1}}} = x_k - f(x_k) \cdot \frac{x_k - x_{k-1}}{f(x_k) - f(x_{k-1})}

Essa é a relação de recorrência do Método da Secante. Para iniciá-la, são necessários dois pontos iniciais $x_0$ e $x_1$ , só dois chutes próximos o suficiente da raiz.

A interpretação geométrica

Newton usa a reta tangente em um único ponto. A Secante usa a reta que passa pelos dois pontos mais recentes da sequência.

Dados $(x_{k-1}, f(x_{k-1}))$ e $(x_k, f(x_k))$ , a reta que passa pelos dois é uma secante à curva $f(x)$ . O zero dessa reta é $x_{k+1}$ .

À medida que $x_{k-1}$ e $x_k$ se aproximam da raiz, a secante se aproxima da tangente. O método converge pelo mesmo motivo que Newton, mas um passo atrás.

Método da Secante - f(x) = x·log10(x) − 1

Pontos iniciais x₀ = 2, x₁ = 3 · precisão ε = 10⁻⁵

x0 (anterior)

2.00000000

x1 (atual)

3.00000000

x2 (próximo)

2.47984830

erro relativo

2.10e-1

Iteração 1 / 5

━ f(x)● xk−1 (anterior)● x_k (atual)┄ reta secante| x_k+1 (zero da secante)┊ raiz real ≈ 2.50618

Note como a primeira secante, entre $x_0 = 2$ e $x_1 = 3$ , já aponta para perto da raiz. A partir daí, os dois pontos ficam cada vez mais próximos e a secante se estabiliza.

Implementando em Python

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import math
2

3
def f(x):
4
    return x * math.log10(x) - 1
5

6
def secante(f, x0, x1, eps=1e-5):
7
    k = 0
8
    while True:
9
        fx0, fx1 = f(x0), f(x1)
10
        x2 = x1 - fx1 * (x1 - x0) / (fx1 - fx0)
11
        erro = abs(x2 - x1) / abs(x2)
12
        k += 1
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        print(f"Iteração {k:2d}: x = {x2:.8f}, f(x) = {f(x2):.2e}, erro = {erro:.2e}")
14
        if erro < eps:
15
            return x2
16
        x0, x1 = x1, x2
17

18
raiz = secante(f, x0=2, x1=3)
19
print(f"\nRaiz encontrada: {raiz:.6f}")

Rodando com $x_0 = 2$ , $x_1 = 3$ :

1
Iteração  1: x = 2.47984830, f(x) = -2.19e-02, erro = 2.10e-01
2
Iteração  2: x = 2.50496429, f(x) = -1.02e-03, erro = 1.00e-02
3
Iteração  3: x = 2.50618751, f(x) = 2.80e-06, erro = 4.88e-04
4
Iteração  4: x = 2.50618415, f(x) = -3.55e-10, erro = 1.34e-06
5

6
Raiz encontrada: 2.506184

5 iterações para $\varepsilon = 10^{-5}$ . Mais do que Newton (4), mas bem menos do que a bissecção (17). E sem precisar calcular nenhuma derivada.

Convergência superlinear

A ordem de convergência do Método da Secante é $p = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1{,}618$ . Não é linear ( $p = 1$ ) como a bissecção, nem quadrática ( $p = 2$ ) como Newton, mas fica no meio termo.

Esse valor sai da análise de como o erro se propaga quando se aproxima $f'$ pelo quociente de diferenças. A demonstração usa uma equação de recorrência que resulta naturalmente na razão áurea como solução.